1 平面度在线测量的数学模型与误差分离方法
对于平面度在线测量，可以采用四测头电容式组合传感器装置安装在加工机床的z轴上，按一定的测量走点路径对工件表面进行测量，测量结果中迭加了两项误差：基准误差(即导轨运动副误差)和工件表面误差。因此，要精确测量工件平面度，必须采用误差分离技术。
对平面度在线测量可以采用三或四传感器进行。其中三传感器布置方式如图1所示。传感器边距为L，这样以 L长为间隔可将被测平面分为M行N列网格，处于网格上的点即为被测量点，三传感器分别标记为(k，l)(k，l＝1，2)，对应第i行j列上的测量点标记为(i，j)。以传感器(l，l)的零点作为基准点。则传感器(1，2)、(2，1)的初始位置偏差分别记为）Δ12、Δ21。
图2所示为测量路线图(这里以4行4列测点为例)，网格上的点为测量点，实心小圆圈表示测头，i、j表示测量的当前行和列。
图3所示为传感器采集数据示意图。这里假设测头装置为一刚体，导轨运动副作无偏摆的平动。
由图3给出的当前测量i行j列时的采集数据示意图可以得到传感器采样表达式，记传感器(k，l)(k，l＝1，2)在该位置时的采样值为 zijkl，则：
2 测量误差源分析及实用误差分离方法的讨论
对于平面度形状误差的误差分离方法，可以采用递推逐次两点(TSTP)法和最小二乘逐次两点(LSSTP)法。对于大型精密、超精密平面度在线测量，则应采用混合逐次两点(HSTP)法，对于精密小平面工件，采用二维最小二乘插值逐次两点(LSISTP)法进行误差分离。
2．1测量误差源分析
逐次两点误差分离方法是以采样公式(1)为分析处理基础的，但在实际系统中，由于各种因素的影响，采样获得的传感器信息中不仅包含运动副误差和测量平面形状误差，而且还带有各种噪声信号。理论分析和实验研究情况表明，影响采样数据的误差源很多，如漂移误差、随机噪声误差、采样量化误差、摆角误差、各种低频振动、导轨运动不平稳等。对于大型 CNC超精密平面磨床而言，影响在线测量系统精度的因素主要有以下，几项：漂移误差、随机噪声误差、传感器电源及导轨气源波动、机床振动。
由于环境条件等的缓慢变化引起传感器中频漂移，尤其对于大工件测量时所需时间较长，漂移误差的影响更大。但理论研究及分析表明：若传感器漂移曲线相同，则漂移误差影响可以通过分离处理消除，这样在设计制作传感器时尽量保证传感器的特性相近，则环境变化对传感器的影响基本相同，漂移误差的影响得到抑制。
在线测量的环境不能算太好，采样测量中不可避免存在各种各样的干扰，‘如振动、电磁干扰、导轨运动的不平稳、传感器电路不稳定等等，都会使得采样值中存在随机噪声误差。通过几种算法处理过程可以发现：采用最小二乘处理进行误差分离的办法可以减少随机噪声的影响。
传感器电源纹波、导轨气源波动和机床振动都会对传感器采样值产生影响，因此需要分别采取措施减少影响。另一方面，由于其作用对几个传感器是相同的，因此误差分离处理时，它们只影响导轨分离精度，而对工件表面分离结果没有影响。
2.2 实用误差分离方法的讨论
对于平面度形状误差在线测量，可以采用TSTP法、LSSTP法、HSTP法、ILSSTP法等。其中TSTP法具有处理过程简单、速度快的特点，但该方法的分离结果容易积累测量噪声误差，特别是大型工件在线测量的场合，分离精度较低：LSSTP法则可以抑制随机噪声的影响，得到更高精度的测量结果，该方法将多项误差通过一次处理得到，这样可能因为误差均化而导致分离结果不准确。对于大型平面测量，由于处理矩阵太大而使得算法实现非常困难且可能导致浮点运算误差。HSTP法实现了单项误差分离处理，它以TSTP方法得到的结果作为初始值通过共轭梯度法迭代逼近可以实现大型平面快速精确的误差分离。该方法避免了LSSTP方法可能产生的误差均化及浮点运算误差p大型超精密平面度测量采用该方法最为合适。这三种方法的测量间隔等于测头间距而不能变更，这样对于中小型平面测量会导致测量结果不够精确。ILSSTP法可以实现以小于测头间距的间隔进行测量并抑制随机噪声的影响，当测量点较多时也可以采用共轭梯度迭代逼近的办法得到精确的分离结果。作为ILSSTP法的特例，对于直线度在线测量同样可以通过最小二乘处理得到高精度分离结果。
3 平面度评价方法
目前对平面度的评估主要有四种方法：方格法、对角线法、最小二乘法和最小包容区域法。前两种方法处理比较简单，在工程现场上应用较多，但其结果存在偏差。最小二乘法也是一种简单快捷的近似评估方法，易于计算机编程实现，其评估结果误差相对较小。最小区域法符合国标规定的最小条件原则，其评估结果唯一且比前几种方法都精确，故而最受重视，其实现相对较为复杂，很多学者采用了各种不同算法来实现该方法。在进行最小区域法实现时，各种文献提供了数十种求解算法，常用的有基面旋转法、坐标变换法、优化法、特征点法和作图法等，这些算法都有各自的优点。但对于大型超精平面测量处理而言，数据点太多。对如此多的数据点进行反复处理，前面提供的算法效率都太低，处理时间太长。针对这种情况，我们提出了一种对数据预处理的计算机算法，大大提高了处理效率。
算法的主要思路是通过优化搜索序列、通过置换法寻找特征点、用判别准则进行验证、再循环搜索、直到得到满足条件的特征点为止。为提高搜索速度，综合几种方法的优点，采取了最小二乘预处理、分组设定优先顺序、选定搜索方向等多条优化措施。
补偿加工是利用计算机控制刀具(砂轮)运动来补偿由于机床导轨及加工变形等造成的工件直线度、平面度误差。
3．1 误差补偿曲线(曲面)
对工件实时测量与补偿是非常困难的，因此补偿加工采用误差记忆控制方式，误差曲线(面)来自上次加工后的工件表面测量结果。如图4所示，设 y(x)为通过多传感器在线测量并经过插值误差分离处理获得的工件直线度误差曲线(如果仅对机床导轨形状误差进行补偿，则 y(x)为导轨副误差曲线)， f(x)为要求磨削达到的导轨形状曲线(在对精密机床、测量机导轨进行磨削加工时，为了磨削出高精度导轨，并实现要求的凹凸形状控制，当要求磨削工件形状为直线时，f(x)＝0)，Y(x)为要求控制砂轮进给的位移量，则可以通过下式求得 Y(x)。
Y(x)＝ So- k×[ f(x)- y(x)]
这里：So为磨削进刀深度，k为砂轮进给系统刚度、机床运动系统刚度及工件刚度等影响的修正系数，该系数需要通过相应的实验研究得到。
平面误差补偿加工比导轨误差补偿加工相对要复杂一些，生成平面度误差补偿曲面的方法与生成直线度误差补偿曲线的方法相类似。磨削平面时，砂轮磨头要沿工作台作反复循环运动，这样在两种不同运动状态下，对 k系数及误差补偿曲面是否需要调整及调整方法需要通过实验研究确定。
3.2 大行程进给的实现
Z轴的位置控制策略因采用的微进给方式不同而不同，若微进给方式为压电伸缩气压调节式，则由于粗动控制是通过Z轴电机驱动精密丝杠完成的，这样在粗动和微动切换控制时，由粗动控制向微动方式切换时，粗动方式的停止特性则可能成为问题，此时需要通过实验研究平滑稳定的控制方式切换的实现方法。若微进给通过静压谐波传动实现，上述问题就不存在了，但为了实现高分辨率高精度进给，则需要对传动系统的爬行特性和其它非线性特性加以注意并采取措施。
3.3 微量进给系统特性分析及补偿加工方法研究
由于实现微量进给的电致伸缩元件、气体减压阀、气体轴承多个环节的非线性和不确定性会给传统控制方法获得的控制结果带来误差。针对这一问题分为两部分进行研究:
(1)微量进给控制系统的建立及动态特性分析；
(2)实际补偿控制方法研究。
3．3．1微量进结系统的建立及动态持性分析
由于补偿加工时，砂轮作旋转运动以及其它各种干扰因素的影响，对砂轮位移量直接精确测量非常困难，传感器的长期稳定性和和精度也不易保证。因此在建立控制系统时，采用易于安装且精度与稳定性好的气体压力传感器(测量精度＜0．1％，年漂移＜0．2％)检测气’体轴承进气调节压力变化进行半闭环控制，这样一方面可以避免压电晶体磁滞效应的影响，另一方面采用合适控制策略通过’半闭环控制可以提高系统响应速度。
在进行系统特性实验前，首先对其物理模型进行分析，在此基础上对各环节进行参数辨识，再对模型及参数进行优化，以使跟踪控制误差达到最小。主要完成的工作为：
a)测定静态电压位移曲线、气压位移曲线；
b)选择线性段区域测定系统增益系数；
c)理论分析各环节物理模型：
d)采用随机噪声序列或阶跃响应曲线建模并辨识模型参数。
实验表明，供气压力—砂轮位移关系可近似表示为一带纯滞后的二阶欠阻尼系统，电压—气压关系则由于气体减压阀进气孔与泄气孔不同而特性不同，采用阶跃法获得进气和泄气过程响应曲线，再对其分别建模辨识。
其关系都可以表示为模型参数不同的纯滞后一阶惯性系统。
由于系统环节过程较多，造成系统模型经过一段时间会产生一定漂移，这样会影响控制质量。为克服这一问题，在实际补偿加工控制系统中设置两种模态：测试模态和控制调节模态。开始补偿加工前系统处于测试模态下，施加阶跃响应信号测试系统模型和模型参数。然后进入控制调节模态，由测试模态得到的系统模型修改控制器参数，然后由此控制器对系统动态特性进行控制。由于系统的非线性特性，线性模型是一种近似模型，采用非线性建模方法可望得到更精确态模型。
3．3．2实际补偿控制方法研究
应用于大型超精密平面磨床的实际补偿控制方法主要有以下几点要求：可靠稳定、精确快速、系统的鲁棒性强。
为了提高系统的动态响应速度，可以采用“前馈+PID”的控制方法，图5给出的是该方法的控制系统框图，图中 F(s)前馈控制环节， G1(s)为 PID控制环节。考虑进气与泄气时 G2(s)具有不同的传递函数，相应地，其前馈控制环节和 PID控制环节也不同。
理想情况下希望 Xo(s)=Xi(s)，即系统实现无误差跟踪，但为满足无误差跟踪，则要求系统模型精确己知且确定不变，这一点复杂控制系统不易满足。考察“电压一气压”模型和“气压一位移”模型可知，影响系统动态响应速度的主要环节为中间环节 G2(s)，因此对“电压一气压”部分进行半闭环前馈控制就可以大大提高系统动态响应速度。
闭环系统误差传递函数为：
为了实现方便，采用速度前馈控制器(F(s)= as)实现前馈控制。施加阶跃电压信号大小为140V一220V，采用“前馈+PID”控制方法后系统阶跃响应上升时间减少为 O．25秒，下降时间减少为 O．5秒以内。实验表明，在1HZ频域范围内系统幅频特性良好，考虑超精密平面磨床导轨误差较小(实际测量为 lμm／1000mm左右)且平滑缓慢变化，以上的幅频特性完全可以满足实际需要。
用线性模型对驱动电源及压电晶体模型进行辨识，结果表明其动态特性表现为一带延时效应的一阶惯性环节：
一般认为静压轴承为一高阶模型，其模型结构可参考有关文献，从目前掌握的资料来看，对于这种调节供气压力式的空气静压轴承，其动态模型尚未进行研究。由于气体压力数字调节不易实现，对其模型直接进行辨识存在一定困难。实际实验中，将整个系统连接起来，通过驱动压电晶体调节进气腔气体压力，就得到整个系统阶跃响应曲线。